expresiones algebraicas

Una expresión algebraica es aquella en la que se utilizan o relacionan letras, números y signos de operaciones de suma, resta, multiplicación y división y también potencias, radicales y logaritmos.

Por ejemplo,

Suma de cuadrados: a² + b²

Triple de un número menos doble de otro: 3x - 2y

Suma de varias potencias de un número: a⁴ + a³ + a² + a

Multiplicación de radicales: 

Si dos o más expresiones algebraicas están unidas con un signo más (+) o un signo menos (-) cada una recibe el nombre detérmino. Ahora, si dos o más expresiones algebraicas están unidas por una multiplicación cada una recibe el nombre de factor.

Veamos esto:

4ac es una expresión algebraica

(a + b) (a – b) es otra expresión algebraica

si las sumamos

4ac + (a + b)(a – b)

4ac pasa a ser el primer término y (a + b)(a – b) pasa a ser el segundo término.

Aquí vemos que el primer término es una multiplicación entre tres factores: el 4, una a y una c.

Y que el segundo término es una multiplicación entre dos factores: (a + b) por (a – b)

También debemos recordar que un término puede constar de las siguientes partes:

Una parte literal: representada por una o varias letras

Un coeficiente: valor que precede a la parte literal

Un exponente: que indica las veces que se multiplica por sí misma la parte literal .

Por ejemplo, en 

la x es la parte literal

el menos 2 es el coeficiente y

el 3 representa las veces que la parte literal se multiplica por sí misma (potencia).

Recordemos, además, que las expresiones algebraicas se clasifican, según su número de términos, en:

monomio, si tiene un solo término

binomio, si tien dos términos

trinomio si tiene tres, y, en general,

polinomio, si tiene más de dos.

Multiplicar expresiones algebraicas fraccionarias (racionales)

Entrando en materia, al comienzo hablamos de expresiones algebraicas racionales, que son aquellas en las cuales dos expresiones algebraicas forman una fracción (división, cociente o razón).

Por ejemplo:

Para resolver multiplicaciones con expresiones racionales (que involucren fracciones) debemos tener en cuenta lo siguiente:

-  Toda fracción consta de numerador (el número de arriba) y denominador (el número de abajo).

-  Para multiplicar fracciones se multiplica numerador por numerador y denominador por denominador.

- Respetar la regla de los signos para la multiplicación.

- Multiplicar entre sí los coeficientes numéricos y entre sí las letras iguales (la parte literal).

-  Encontrar o visualizar los factores adecuados para realizar una factorización conveniente, que nos permita luego

-  Simplificar o reducir las fracciones a su mínima expresión.

-  Reordenar finalmente el numerador y el denominador respetando la secuencia de números y letras (a, b, c, etc.).
Para intentar una mayor comprensión, resolvamos los ejemplos:

Ejemplo 1:

Resolvemos en único paréntesis que tenemos en la expresión:

Y la multiplicación nos queda así:

Multiplicamos los numeradores entre sí  y los denominadores entres sí

Factorizamos, para poder simplificar hasta donde sea posible:

Simpliicamos, eliminando el binomio que se repite en el numerador y el denominador (en rojo), para quedar el resultado

Otra forma sería partiendo por factorizar el primer numerador (3x – 3), para dejar la multiplicación así:

Simplificamos, eliminando el (x – 1) del numerador de la primera fracción y el (x – 1) del denominador de la segunda,

para quedar:

Simplificamos el resultado

Y obtenemos el mismo resultado.

Este resultado es correcto para cualquier número que sea mayor que 1.

Ejemplo 2

Veamos el camino más corto:

Factorizamos donde es posible hacerlo (marcado en rojo):

Y simplificamos

También pudimos hacerlo más largo:

Multiplicamos los numeradores entre sí  y los denominadores entres sí

Factorizamos el resultado último y simplificamos:

Ejemplo 3

Factorizamos lo que sea posible factorizar (en rojo):

Ahora podemos simplificar los términos semejantes que haya (en azul):

En seguida, multiplicamos numerador con numerador y denominador con denominador:

y como el  (1)  no se coloca, el resultado final queda

Generalmente se deja expresada la multiplicación, como en este caso del denominador,  el cual queda factorizado.

Se debe anotar que este resultado solo es válido si x es distinto a 3, ya que si x = 3 tendríamos 3 -3 = cero, y sabemos que todo lo multiplicado por cero es igual a cero.

Ejemplo 4

Hay que hacer notar que el resultado solo es posible siempre que x sea distinto a 1 y a 5.

¿Qué hicimos?

Factorizamos todo lo que se podía factorizar,  simplificamos todo lo que se podía simplificar y multiplicamos numerador con numerador y denominador con denominador (este útimo da uno, que no se coloca). 

Teorema de thales

Cuando en geometría hablemos del Teorema de Tales (o Thales), debemos aclarar a cuál nos referimos ya que existen dos teoremas atribuidos al matemático griego Tales de Mileto en el siglo VI a. C.

El primero de ellos se refiere a la construcción de un triángulo que sea semejante a otro existente (triángulos semejantes son los que tienen iguales ángulos).

Mientras que el segundo desentraña una propiedad esencial de los circuncentros de todos los triángulos rectángulos (los circuncentros se encuentran en el punto medio de su hipotenusa).

Primer teorema

Como definición previa al enunciado del teorema, es necesario establecer que dos triángulos sonsemejantes si tienen los ángulos correspondientes iguales y sus lados son proporcionales entre si. El primer teorema de Tales recoge uno de los postulados más básicos de la geometría, a saber, que:

Si en un triángulo se traza una línea paralela a cualquiera de sus lados, se obtienen dos triángulos semejantes.

Entonces, veamos el primer Teorema de Tales en un triángulo:

Dado un triángulo ABC, si se traza un segmento paralelo, B'C', a uno de los ladosdel triángulo, se obtiene otro triángulo AB'C', cuyos lados son proporcionales a los del triángulo ABC.  Lo que se traduce en la fórmula

Propiedades de las potencias

La potenciación es una operación matemática entre dos términos denominados: base a y exponente n. Se escribe aⁿ y se lee usualemnte como «a elevado a n» o «a elevado a la» y el sufijo en femenino correspondiente al exponente n. Hay algunos números especiales, como el 2, al cuadrado o el 3, que le corresponde al cubo.

Su definición varía según el conjunto numérico al que pertenezca el exponente:

• Cuando el exponente es un número natural, equivale a multiplicar un número por sí mismo varias veces: el exponente determina la cantidad de veces.

Por ejemplo: .

• Cuando el exponente es un número entero negativo, equivale a la fracción inversa de la base pero con exponente positivo.

• Cuando el exponente es una fracción irreducible n/m, equivale a una raíz:

Cualquier número elevado a el exponente 0 el resultado equivale a 1, excepto el caso particular de  que, en principio, no está definido (ver cero).

La definición de potenciación puede extenderse a exponentes reales, complejos o incluso matriciales.

ECUACIONES DE PRIMER GRADO

Una ecuación de primer grado o ecuación lineal es un planteamiento de igualdad, involucrando una o más variables a la primera potencia, que no contiene productos entre las variables, es decir, una ecuación que involucra solamente sumas y restas de una variable a la primera potencia. En el sistema cartesiano representan rectas. Una forma común de ecuaciones lineales es:

Donde  representa la pendiente y el valor de  determina la ordenada al origen (el punto donde la recta corta al eje y).

Las ecuaciones en las que aparece el término  (llamado rectangular) no son consideradas lineales.

Algunos ejemplos de ecuaciones lineales:

Formas de ecuaciones lineales

Formas complejas como las anteriores pueden reescribirse usando las reglas del álgebra elemental en formas más simples. Las letras mayúsculas representan constantes, mientras x e y son variables.

Ecuación general

Aquí A y B no son ambos cero. Representa una línea en el cartesiano. Es posible encontrar los valores donde x e y se anulan.

• Ecuación segmentaria o simétrica

Aquí E y F no deben ser cero. El gráfico de esta ecuación corta al eje X y al eje Y en E y F respectivamente.

• Forma paramétrica

1. 
2. 

Dos ecuaciones que deben cumplirse de manera simultanea, cada una en la variable t. Puede convertirse a la forma general despejando t en ambas ecuaciones e igualando.

• Casos especiales:

Un caso especial es la forma estándar donde  y  . El gráfico es una línea horizontal sin intersección con el eje X ó (si F = 0) coincidente con el ese eje.

Otro caso especial de la forma general donde  y . El gráfico es una línea vertical, interceptando el eje X en E.

En este caso, todas las variables fueron canceladas, dejando una ecuación que es verdadera en todos los casos. La forma original (no una tan trivial como la del ejemplo), es llamada identidad. El gráfico es todo el plano cartesiano, ya que lo satisface todo par de números reales x e y.

Nótese que si la manipulación algebraica lleva a una ecuación como 1 = 0 entonces la original es llamada inconsistente, o sea que no se cumple para ningún par de números x e y. Un ejemplo podría ser: .

Adicionalmente podría haber más de dos variables, en ecuaciones simultaneas. Para más información véa: Sistema lineal de ecuaciones